Duolimpiadi I Antichi problemi
Una branca quasi sconosciuta dell'archeologia è la cosiddetta matemarcheologia, che studia i problemi matematici posti dalle popolazioni dell'antichità. È convenzione matemarcheologica, quando un problema viene tradotto dal manoscritto originale, lasciare i nomi delle variabili intatti. Qui collezionati sono quattro problemi da diverse parti del mondo, seguendo la convenzione sopra citata. Un fatto poco noto è che gli antichi utilizzavano LaTeX. I matemarcheologi, persone più civilizzate, hanno optato per utilizzare Typst; non possiamo che seguire le loro orme.1. Il gioco dei Parti
Vachagan (il Coraggioso) e Shapur (figlio di Pabag) fanno un gioco: scrivono il numero \(2\) su una lavagna, e poi a turno, partendo da Vachagan, cancellano il numero \(𐫗\) e scrivono \(𐫗 + 𐫛\), dove \(𐫛\) è un divisore primo di \(𐫗\). Perde il gioco la prima persona che scrive sulla lavagna un numero maggiore di \(69\). Supponendo che entrambi i giocatori giochino perfettamente, si determini chi vincerà il gioco.
2. Il cubo dell'imperatore Maurya
Siano \(𑀅, 𑀩, 𑀕 \in \mathbb{Z}^+\) per cui \(\frac{𑀅}{𑀩} + \frac{𑀩}{𑀕} + \frac{𑀕}{𑀩} \in \mathbb{Z}\). Si dimostri che \(𑀅 𑀩 𑀕\) è un cubo perfetto.
3. La griglia micenea
Determinare tutti gli \(𐀼 \in \mathbb{Z}^+\) i cui divisori possono essere inseriti in una griglia rettangolare, ciascun divisore in esattamente una casella, in cui:
- la differenza in valore assoluto tra le somme di due righe qualsiasi è al massimo \(1\)
- la differenza in valore assoluto tra le somme di due colonne qualsiasi è al massimo \(1\)
4. La funzione fenicia
Sia \(𐤊 \in \mathbb{Z}^+\) fissato. Determinare al variare di \(𐤊\) tutte le funzioni \(𐤐 : \mathbb{Z}^+ \rightarrow \mathbb{Z}^+\) per cui, per ogni \(𐤍 \in \mathbb{Z}^+\):
- \(𐤐(𐤍) < 𐤐(𐤍+1)\)
- \(𐤐^𐤊(𐤍) = (𐤊+1)𐤍\), dove \(𐤐^𐤊\) indica l'applicazione di \(𐤐\) ripetuta \(𐤊\) volte.